Sèries Geomètriques

Series Geomètriques

Un dels grans problemes de les matemàtiques cau en el fet de sumar infinites quantitats, és aquí a on apareix el concepte de sèrie.

Una sèrie és la suma d’un conjunt de termes infinits. 

Per exemple,

Hem agafat el número 1 i l’hem sumat infinites vegades. Quin valor creus que tindrà la suma de tots?

Intuïtivament es veu clar que aquest valor serà infinit, ja que estem sumant quantitats constants que no decreixen a mesura que viatge‘m cap a l’infinit.

Considerem la següent suma,

Creus que aquesta suma també es fa infinita o potser té un resultat finit?

El primer que ens hem de fixar és en el comportament dels termes de la sèrie. La primera conjectura que podem extreure és que cada terme és més gran que el següent, és a dir,

 

La segona conjectura que fàrem té a veure amb la relació entre els termes. Veus algún tipus de relació entre aquests?

Com es pot observar, el terme posterior és exactament 2-vegades el terme anterior, i això es compleix per a tots els termes de la sèrie, ja que si ens fixem els denominadors no són més que potències de base 2. D’aquí surt el concepte de raó de la sèrie, que no és més que el numero pel qual multiplicaràs cada terme per tal d’obtenir el terme posterior. Repetint aquest procés fins a l’infinit obtenim la sèrie infinita que hem estat analitzant.

Però, i si volem trobar el valor de la suma infinita… Hi ha alguna manera? La resposta és que sí, i és un dels resultats més utilitzats a Calculus.

Suposem que coneixem el valor de la suma infinita i aquest és S, és a dir,

Ara ve el moment crucial, és a dir, farem servir el truco del almendruco per a sèries geomètriques. Sabem que la raó r és precisament 1/2.  Llavors multipliquem la sèrie S per la seva raó i observem que..

Finalment, restem les dues expressions i observem que només sobreviuen el primer terme i els que van quedant per darrere de l’últim terme de S, ja que els altres es cancel·len entre si, en altres paraules.

Finalment ens queda,

Però si ho fem pel cas en què tenim infinits termes ens queda el següent

Considerem el cas n tendint cap a infinit i s’observa directament que el terme n+1 es farà cada vegada més petit, i en el límit serà 0. Per tant,

Xarxes Socials

Els Nostres Cursos

Classes

Merlino Academy

Contacte

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.